Question

已知拋物線、橢圓和雙曲線都經過點M（1，2），它們在x軸上有共同焦點，橢圓和雙曲線的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點為坐標原點．
（1）求這三條曲線的方程；
（2）已知動直線l過點P（3，0），交拋物線于A，B兩點，是否存在垂直于x軸的直線l′被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出L′的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意，把點M（1，2）代入拋物線的方程，求得拋物線的方程和焦點坐標，再把點M（1，2），代入橢圓和雙曲線的標準方程，即可求得結果；
（2）設AP的中點為C，l'的方程為：x=a，以AP為直徑的圓交l'于D，E兩點，DE中點為H，根據垂徑定理即可得到方程|DH|2=|DC|2-|CH|2=

1

4

[(x1-3)2+y12]-

1

4

[(x1-2a)+3]2=（a-2）x₁-a²+3a，探討該式何時是定值．

解答：解：（1）設拋物線方程為y²=2px（p＞0），將M（1，2）代入方程得p=2，
∴拋物線方程為：y²=4x；由題意知橢圓、雙曲線的焦點為F（-1，0）₁，F₂（1，0），∴c=1；
對于橢圓，2a=|MF₁|+|MF₂|=

(1+1)2+22

+

(1-1)2+4

=2+2

2

；∴a=1+

2

∴a2=(1+

2

)2=3+2

2

∴b²=a²-c²=2+2

2

∴橢圓方程為：

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1
對于雙曲線，2a'=||MF₁|-|MF₂||=2

2

-2
∴a'=

2

-1
∴a'²=3-2

2

∴b'²=c'²-a'²=2

2

-2
∴雙曲線方程為：

x2

3-2 2

-

y2

2 2 -2

=1

（2）設AP的中點為C，l'的方程為：x=a，以AP為直徑的圓交l'于D，E兩點，DE中點為H．
令A(x1，y1)，∴C(

x1+3

2

，

y1

2

)
∴|DC|=

1

2

|AP|=

1

2

(x1-3)2+y12

|CH|=|

x1+3

2

-a|=

1

2

|(x1-2a)+3|
∴|DH|²=|DC|²-|CH|²=

1

4

[(x1-3)2+y12]-

1

4

[(x1-2a)+3]2
=（a-2）x₁-a²+3a
當a=2時，|DH|²=-4+6=2為定值；
∴|DE|=2|DH|=2

2

為定值
此時l'的方程為：x=2

點評：此題是個難題．本題考查了橢圓與雙曲線拋物線的標準方程即簡單的幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．其中問題（2）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力，