Question

已知函數f（x）=，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）有三個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a=1代入f（x）中確定出解析式，把x=2代入求出的解析式中得到f（2）的值，進而得到切點坐標，然后求出f（x）的導函數，把x=2代入導函數即可求出切線的斜率，根據切點坐標和斜率寫出切線方程即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導函數，令導函數等于0求出x的值，由a大于0判斷出求出的x的值的大小，由x的值分區間討論導函數的正負，根據函數的增減性，得到函數的極小值和極大值，由f（x）有三個零點，根據極大值大于0，得到極小值小于0，列出關于a的不等式求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）當a=1時，；
得到f′（x）=3x²-3x，
則f′（2）=6，
所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為：y-3=6（x-2），即y=6x-9；
（Ⅱ）f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）．令f′（x）=0，解得，
因a＞0，則．
當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如表：

X	（-∞，0）
F’（x）	+		-		+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

又f（0）=1，，
若要f（x）有三個零點，只需即可，
解得，又a＞0．
因此．
故所求a的取值范圍為．
點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會根據導函數的正負判斷函數的單調性并根據函數的增減性得到函數的極值，掌握函數零點的判斷定理，是一道中檔題．