Question

若對于n個向量

a1

，

a2

，…，

an

，若存在n個不全為零的實數k₁，k₂，…，k_n，使得k1

a1

+k2

a2

+…+kn

an

=

0

，則稱

a1

，

a2

，…，

an

為“線性相關”，k₁，k₂，…，k_n分別為

a1

，

a2

，…，

an

的“相關系數”．依此規定，若

a1

=(1，0)，

a2

=(1，-1)，

a3

=(2，2)線性相關，

a1

，

a2

，

a3

的相關系數分別為k₁，k₂，k₃，則k₁：k₂：k₃=

-4：2：1

．

Answer 1

分析：根據所給的新定義，看出要求的三個向量線性相關，得到關于向量的坐標和相關系數之間的關系式，根據這個關系式等于零向量，寫出兩個方程，把其中一個相關系數表示另外兩個相關系數，求比值即可．

解答：解：∵

a1

=(1，0)，

a2

=(1，-1)，

a3

=(2，2)線性相關，
根據條件中所給的線性相關的定義得到k1

a1

+k2

a2

+k3

a3

=

0

，
∴k₁（1，0）+k₂（1，-1）+k₃（2，2）=（0，0），
∴k₁+k₂+2k₃=0，①
-k₂+2k₃=0    ②
由①②可得，k₂=2k₃，k₁=-4k₃
∴k₁：k₂：k₃=（-4k₃）：（2k₃）：k₃=-4：2：1
故答案為：-4：2：1

點評：本題考查平面向量與線性相關的綜合題目，本題解題的關鍵是理解新定義，能夠利用新定義，本題是一個中檔題目．