Question

【題目】已知函數，函數.

（1）討論函數的極值；

（2）已知函數，若函數在上恰有三個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）對求導，分和兩種情況，分別討論的正負性，可得到的單調性，進而可求得極值；

（2）易知有且僅有一個零點，且時，從而可知有兩個零點，結合（1）知不符合題意，時，討論的極值，并結合零點存在性定理可求出答案.

（1）的定義域為，，

當時，在恒成立，∴在單調遞減，故無極值，

當時，由得.

當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增，

∴在處取得極小值，，無極大值.

綜上，當時，無極值；當時，有極小值，無極大值.

（2）若是的零點，則必有或，∴的零點必為或的零點，

而有且僅有一個零點，且，時.

①當時，由（1）知在單調遞減，至多只有一個零點，此時至多只有兩個零點，不合題意，舍去；

②當時，由（1）知在單調遞減，在單調遞增，則.

i）當即時，至多只有一個零點，此時至多只有兩個零點，不合題意，舍去；

ii）當即時，，，

由零點存在性定理知使得.

令，，則在單調遞增，在單調遞減，

∴，∴，，

當時，，

∴，又，

∴由零點存在性定理知使得，

∴，；，；，，

∴當時，有三個零點，滿足題意.

綜上，實數的取值范圍為.