Question

已知一條曲線在x軸的上方，它上面的每一點到點A（0，2）的距離減去它到x軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程．

Answer 1

分析：先設點M（x，y）是曲線上任意一點，欲求這條曲線的方程，只須求出x，y之間的關系即可，利用點M屬于集合P={M||MA|-|MB|=2}．將此條件用坐標代入化簡即得曲線的方程．

解答：解：設點M（x，y）是曲線上任意一點，MB⊥x軸，垂足是B，那么點M屬于集合P={M||MA|-|MB|=2}．
由距離公式，點M適合的條件可表示為：

x2+(y-2)2

-y=2①
將①式移項后再兩邊平方，得x²+（y-2）²=（y+2）²，
化簡得：y=

1

8

x2
因為曲線在x軸的上方，所以y＞0，雖然原點O的坐標（0，0）是這個方程的解，但不屬于已知曲線，所以曲線的方程是y=

1

8

x2（x≠0），它的圖形是關于y軸對稱的拋物線，但不包括拋物線的頂點，如圖所示．

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系，本題利用直接法求解，直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．