Question

【題目】在多面體中，，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）.

【解析】試題分析：

（I）由AF與AB、AD垂直，得AF垂直于平面ABCD，從而得AF⊥AC，從而有BE⊥AC，在ABCD中利用勾股定理逆定理可得AC⊥BC，從而得AC⊥平面BCE，于是證得面面垂直；

（II）設點到面的距離為，點到直線的距離為，記二面角平面角為,則有，由體積法（四面體ADCE）可求得，在中可求得，從而可得結論.

試題解析：

（Ⅰ）證明：面，故

又，所以,①

在直角梯形中，，，，

可得,

由知,②

由①②知：面，進而面面.

（Ⅱ）設點到面的距離為，點到直線的距離為，

記二面角平面角為,

由，即得,

易得，則，進而,

即二面角的余弦值為.