Question

已知非零向量

a

，

b

滿足丨

a

-

b

|=|

a

+

b

|=λ|

b

|（λ≥2），則向量

a

+

b

與

b

-

a

的夾角的最小值為

2π

3

．

Answer 1

分析：由題意可得

a

⊥

b

，可得|

a

|2+|

b

|2=λ2|

b

|2，而cosθ=

( a + b )( b - a )

| a + b || b + a |

=

| b |2-| a |2

λ2| b |2

，代入可得關于λ的式子，由已知的范圍可求得其范圍，進而可得答案．

解答：解：由丨

a

-

b

|=|

a

+

b

|平方可得

a

•

b

=0，
即

a

⊥

b

，由向量的運算法則作出向量圖，
由勾股定理可得|

a

|2+|

b

|2=λ2|

b

|2，
設向量

a

+

b

與

b

-

a

的夾角為θ，
則cosθ=

( a + b )( b - a )

| a + b || b + a |

=

| b |2-| a |2

λ2| b |2

=

| b |2-(λ2-1)| b |2

λ2| b |2

=

2-λ2

λ2

=

2

λ2

-1，
∵λ≥2，∴λ²≥4，0＜

1

λ2

≤

1

4

，
∴-1＜

2

λ2

-1≤-

1

2

，即-1＜cosθ≤-

1

2

，
又θ∈[0，π]，所以

2π

3

≤θ≤π，
故向量

a

+

b

與

b

-

a

的夾角的最小值為

2π

3

故答案為：

2π

3

點評：本題考查數量積表示向量的夾角，涉及向量的模長和三角函數的取值范圍，屬中檔題．