Question

已知非零向量

a

與

b

滿足（

a

+

b

）•（2

a

-

b

）=0，則

| b |

| a |

的最小值為

1

．

Answer 1

分析：由已知結合向量的數量積的定義可求2

a

2-

b

2-|

a

||

b

|cosθ=0，結合-1≤cosθ≤1可求

| b |

| a |

的范圍，進而可求最小值

解答：解：∵（

a

+

b

）•（2

a

-

b

）=0，
∴2

a

2+

a

•

b

-

b

2=0
∴2

a

2-

b

2-|

a

||

b

|cosθ=0
∴cosθ=

2| a |2-| b |2

| a || b |

令m=|

a

|，n=|

b

|
∵-1≤cosθ≤1
∴-1≤

2m2-n2

mn

≤1
∴

2m2-mn-n2≤0 2m2+mn-n2≥0

解不等式可得

1

2

n≤m≤n
∴1≤

n

m

≤2即

| b |

| a |

的最小值為1
故答案為：1

點評：本題主要考查了向量的數量積的定義及性質的簡單應用，二次不等式的求解，屬于基礎試題