Question

用定義證明函數f（x）=

2x

x-1

在區間（1，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析：任取1＜x₁＜x₂，我們構造出f（x₂）-f（x₁）的表達式，根據實數的性質，我們易得出f（x₂）-f（x₁）的符號，進而根據函數單調性的定義，得到答案．

解答：解：函數f(x)=

2x

x-1

在區間（1，+∞）是單調減函數．理由如下：
設1＜x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=

2x2

x2-1

-

2x1

x1-1

=

-2(x1+x2)

(x1-1)(x2-1)

因為1＜x₁＜x₂，，所以x₁+x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
故函數f（x）在區間（1，+∞）是減函數．

點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，其中作差法（定義法）證明函數的單調性是我們中學階段證明函數單調性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步驟．