Question

曲線y=x²+3在點（1，4）處的切線與兩坐標軸的交點為A、B，向圓x²+y²+2x-8=0內隨機投一點，則該點落在△AOB內的概率是

1

9π

．

Answer 1

分析：先求切線方程，求得A，B的坐標，確定△AOB在圓的內部，由此可求點落在△AOB內的概率．

解答：解：由y=x²+3，可得y′=2x，∴x=1時，y′=2
∴曲線y=x²+3在點（1，4）處的切線方程為y-4=2（x-1），即2x-y+2=0
令x=0，則y=2，令y=0，則x=-1，即A（-1，0），B（0，2），
∵x²+y²+2x-8=0，即（x+1）²+y²=9，∴圓心為（-1，0），半徑為3
∴A，B均在圓內
∵S△AOB=

1

2

×1×2=1，S_圓=9π
∴該點落在△AOB內的概率是

1

9π

故答案為：

1

9π

點評：本題考查概率的計算，考查切線方程，考查學生的計算能力，確定切線方程是關鍵．