Question

【題目】某地政府在該地一水庫(kù)上建造一座水電站，用泄流水量發(fā)電，如圖是根據(jù)該水庫(kù)歷年的日泄流量的水文資料畫成的日泄流量X（單位：萬(wàn)立方米）的頻率分布直方圖（不完整），已知X∈[0，120]，歷年中日泄流量在區(qū)間[30，60）的年平均天數(shù)為156天，一年按364天計(jì)．
（1）請(qǐng)把頻率直方圖補(bǔ)充完整；
（2）該水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每30萬(wàn)立方米的日泄流量才能夠運(yùn)行一臺(tái)發(fā)電機(jī)，如60≤X＜90時(shí)才夠運(yùn)行兩臺(tái)發(fā)電機(jī)，若運(yùn)行一臺(tái)發(fā)電機(jī)，每天可獲利潤(rùn)4000元，若不運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)每天虧損500元，以各段的頻率作為相應(yīng)段的概率，以水電站日利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)．問：為使水電站日利潤(rùn)的期望值最大，該水電站應(yīng)安裝多少臺(tái)發(fā)電機(jī)？

Answer 1

【答案】
（1）解：在區(qū)間[30，60）的頻率為 ，

= = ，

設(shè)在區(qū)間[0，30）上， =a，

則（a+ ）×30=1，

解得a= ，

補(bǔ)充頻率分布直方圖如右圖所示．

（2）解：記水電站日利潤(rùn)為Y元．由（Ⅰ）知：不能運(yùn)行發(fā)電機(jī)的概率為 ，

恰好運(yùn)行一臺(tái)發(fā)電機(jī)的概率為 ，恰好運(yùn)行二臺(tái)發(fā)電機(jī)的概率為 ，

恰好運(yùn)行三臺(tái)發(fā)電機(jī)的概率為 ，

①若安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)，則Y的值為﹣500，4000，其分布列為：

Y	﹣500	4000
P

E（Y）=﹣500× +4000× = ．

②若安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)，則Y的值為﹣1000，3500，8000，其分布列為：

Y	﹣1000	3500	8000
P

E（Y）=﹣1000× +3500× +8000× = ．

③若安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)，則Y的值為﹣1500，3000，7500，12000，其分布列為

Y	﹣1500	3000	7500	12000
P

E（Y）=﹣1500× +3000× +7500× +12000× = ，

∵ ，

∴要使水電站日利潤(rùn)的期望值最大，該水電站應(yīng)安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)．

【解析】（Ⅰ）設(shè)在區(qū)間[0，30）上， =a，由頻率分布直方圖的性質(zhì)求出a= ，由此能補(bǔ)充完整頻率分布直方圖．（Ⅱ）記水電站日利潤(rùn)為Y元．不能運(yùn)行發(fā)電機(jī)的概率為 ，恰好運(yùn)行一臺(tái)發(fā)電機(jī)的概率為 ，恰好運(yùn)行二臺(tái)發(fā)電機(jī)的概率為 ，恰好運(yùn)行三臺(tái)發(fā)電機(jī)的概率為 ，分別求出安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)、安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)、安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)期望，由此得到要使水電站日利潤(rùn)的期望值最大，該水電站應(yīng)安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解頻率分布直方圖的相關(guān)知識(shí)，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．