Question

若偶函數y=f（x）x（∈R）滿足f（1+x）=f（1-x），且當x∈[-1，0]時，f（x）=x²，則函數g（x）=f（x）-|log₆x|的零點個數為

6

．

Answer 1

分析：由題目給出的等式及函數是偶函數可得函數的周期為2，再由函數在x∈[-1，0]時，f（x）=x²，且函數是偶函數知函數在x∈[-1，1]時的解析式仍為f（x）=x²，
所以函數在整個定義域上的圖象可知，分析函數y=|log₆x|在x=6時的函數值為1，所以兩函數圖象的交點可知，即函數g（x）的零點個數可求．

解答：解：由f（1+x）=f（1-x），取x=x+1，得：f（x+1+1）=f（1-x-1），所以f（x+2）=f（-x），又因為函數為偶函數，所以f（x+2）=f（-x）=f（x），所以函數f（x）是以2為周期的周期函數．
因為當x∈[-1，0]時，f（x）=x²，由偶函數可知，當x∈[-1，1]時，f（x）=x²，所以函數f（x）的圖象是拋物線f（x）=x²在[-1，1]內的部分左右平移2個單位周期出現，
求函數g（x）=f（x）-|log₆x|的零點個數，就是求兩函數y=f（x）與y=|log₆x|的交點個數，由于log₆6=1，所以兩函數在（0，1]內有1個交點，在（1，3]內有2個交點，
在（3，5]內有兩個交點，在（5，7]內只有1個交點，所以交點總數為6個，所以函數g（x）=f（x）-|log₆x|的零點個數為6．
故答案為6．

點評：本題考查了函數的周期性與函數的零點，考查了函數周期的求法，解答此題的關鍵是明確函數g（x）的零點個數就是兩函數y=f（x）與y=|log₆x|的交點個數．