Question

已知函數．
（I）若關于x的不等式f（x）≤m恒成立，求實數m的最小值：
（II）對任意的x₁，x₂∈（0，2）且x₁＜x₂，己知存在．x₀∈（x₁，x₂）使得
求證：．

Answer 1

（I）解：函數的定義域為（0，+∞）．
由，解得x=e．
當x∈（0，e）時，f^′（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈（e，+∞）時，f^′（x）＜0，f（x）單調遞減；
∴函數f（x）在（0，+∞）上的最大值為．
∵關于x的不等式f（x）≤m恒成立，∴f_max（x）≤m
∴，即m的最小值為；
（II）證明：∵對任意的x₁，x₂∈（0，2），若存在x₀∈（x₁，x₂）使得，
即．
∴．
令，則有F（x₀）=0
∴，
當x∈（0，2）時，2lnx-3＜2ln2-3＜0，又有x₂＞x₁＞0，
∴F^′（x）＜0，即F（x）在（0，2）上是減函數．
又∵
=
=
令，∴
設，∴．
設k（t）=t-tlnt-1，
∴k^′（t）=-lnt＜0（t＞1），∴k（t）在（1，+∞）是減函數，∴k（t）＜k（1）=0．
∴h^′（t）＜0，∴h（t）在（1，+∞）是減函數，∴h（t）＜h（1）=0．
∴．
∵F（x）在（0，2）上是減函數，∴．
分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，由導函數的零點把定義域分段，然后利用導數判斷出極值點，求出函數的極值，也就是最值，則m的范圍可求；
（Ⅱ）求出函數在x₀處的導數，代入，整理后得到，引入輔助函數，求導后得到其在（0，2）上的單調性，然后把代入函數解析式，利用單調性得到F（）與F（x₀）的大小關系，從而得到要證明的結論．
點評：本題考查了導數在最值中的應用，考查了利用導數研究函數的單調性，考查了換元法和數學轉化思想，解答此題的關鍵是兩次構造輔助函數，是較難的題目．