Question

已知函數．
（I）若曲線f（x）在點（2，f（2））處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，求a的值；
（II）討論函數y=f（x）的單調性；
（III）當a=2時，關于x的方程f（x）=m有三個不同的實數根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求f（x）的定義域為{x|x＞0}，先對已知函數進行求導，由f'（2）=2-a-1+=，可求a；
（II）由f'（x）=x-a-1+=（x＞0），通過比較1與2a的大小解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，從而可求函數的單調區間；
（III）把判斷方程f（x）=m何時有三個不同的實數根的問題，轉化為研究函數的零點問題，通過導數得到函數的極值，把函數的極值同m進行比較，得到結果．
解答：解：（I）由已知可知f（x）的定義域為{x|x＞0}
f'（x）=x-a-1+（x＞0）
根據題意可得，f'（2）=2-a-1+=，
∴a=-1．
（II）∵f'（x）=x-a-1+=（x＞0）
①當a＞1時，由f′（x）＞0可得x＞a或0＜x＜1；
由f′（x）＜0可得0＜x＜2a
∴f（x）在（2a，+∞）上單調遞增，在（0，2a）上單調遞減
②當0＜a＜1時，由f′（x）＞0可得x＞1或0＜x＜a；
③當a=1時，在區間（0，+∞）上f′（x）≥0恒成立．
∴當a＞1時，f（x）在（0，1），（a，+∞）上單調遞增，在（1，a）上單調遞減；
當0＜a＜1時，f（x）在（0，a），（1，+∞）上單調遞增，在（a，1）上單調遞減；
當a=1時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
當a≤0時，f（x）在（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減．
（III）當a=2時，f（x）=，
由（II）問知，f（x）在（0，1），（2，+∞）上單調遞增，在（1，2）上單調遞減；
∴f（x）的極大值為f（1）=-，f（x）的極小值為f（2）=2ln2-4，
當m∈（2ln2-4，-），函數方程f（x）=m在（0，+∞）上有三個不同的實數根，
因此實數m的取值范圍是（2ln2-4，-）．
點評：本題主要考查了導數的幾何意義的應用，函數的導數與函數的單調性的應用，及函數的極值與最值的求解的相互關系的應用，屬于函數知識的綜合應用．