Question

【題目】已知函數.

（I）討論函數的單調性,并證明當時， ;

（Ⅱ）證明：當時，函數有最小值，設最小值為，求函數的值域.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先求函數導數，確定導函數在定義區間上恒非負，故得函數單調區間；根據函數單調遞增得，即得不等式，（2）利用（1）結論可得函數的導數在區間內單調遞增，根據零點存在定理可得有一唯一零點且．從而可得在處取最小值，利用化簡，得．最后再利用導數研究函數單調性，即得函數的值域.

試題解析：（1）由得

故在上單調遞增，

當時，由上知，

即，即，得證.

（2）對求導，得， ．

記， ．

由（Ⅰ）知，函數區間內單調遞增，

又， ，所以存在唯一正實數，使得．

于是，當時， ， ，函數在區間內單調遞減；

當時， ， ，函數在區間內單調遞增．

所以在內有最小值，

由題設即．

又因為．所以．

根據（Ⅰ）知， 在內單調遞增， ，所以．

令，則，函數在區間內單調遞增，

所以，

即函數的值域為．