Question

已知f（e^x+e^-x）=e^2x+e^-2x-2，則函數f（x）的值域是

[0，+∞）

．

Answer 1

分析：換元：令e^x+e^-x=t，可得e^2x+e^-2x-2=（e^x+e^-x）²-4=t²-4，從而得出函數的表達式：f（t）=t²-4，再用基本不等式：
a+b＞2

ab

，求出t的取值范圍，即得函數的定義域，最后求二次函數在區間[2，+∞）值域，可得答案．

解答：解：令e^x+e^-x=t，則（e^x+e^-x）²=e^2x+2+e^-2x
可得：e^2x+e^-2x-2=（e^x+e^-x）²-4=t²-4
所以原函數化為f（t）=t²-4
又∵t=e^x+e^-x≥2

ex•e-x

=2
∴函數的表達式為：f（x）=x²-4，其中x≥2
∵x²≥4
∴f（x）=x²-4≥4-4=0，函數的值域是[0，+∞）
故答案為：[0，+∞）

點評：本題考查了函數的解析式的求法、函數的值域等知識點，屬于中檔題．采用換元法求解析式是解決本題的關鍵，解題的同時還要注意函數定義域問題．