Question

7．設f（x）是定義在R上周期為2的函數，且對任意的實數x，恒有f（x）-f（-x）=0，當x∈[0，1]時，f（x）=-$\sqrt{1-{x^2}}$，則函數g（x）=f（x）-e^x+1在區間[-2017，2017]上零點的個數為（　　）

• A． 2016
• B． 2017
• C． 4032
• D． 4034

Answer 1

分析 由題意可判斷出函數f（x）是周期為2的偶函數，當x∈[-1，1]時，f（x）=-$\sqrt{1-{x^2}}$，在[-2017，0]，共有1008個半圓弧及一個$\frac{1}{4}$圓弧，即可得出結論．

解答 解：∵對任意的實數x，恒有f（x）-f（-x）=0，
∴函數f（x）是周期為2的偶函數，
∵當x∈[0，1]時，f（x）=-$\sqrt{1-{x^2}}$，
∴當x∈[-1，1]時，f（x）=-$\sqrt{1-{x^2}}$，
在[-2017，0]，共有1008個半圓弧及一個$\frac{1}{4}$圓弧，
∴函數g（x）=f（x）-e^x+1在區間[-2017，2017]上零點的個數為1008×2+1=2017，
故選：B．

點評 本題主要考查函數與方程的應用，根據條件判斷函數的奇偶性和函數在一個周期內的圖象是解決本題的關鍵．