Question

【題目】已知雙曲線的兩焦點為，為動點，若.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）若，設直線過點，且與軌跡交于兩點，直線與交于點.試問：當直線在變化時，點是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條定直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，

【解析】

（1）根據，且，由橢圓的定義可知，動點的軌跡是以為焦點的橢圓，再求出 ，寫出方程.

（2）先設直線的方程為，如果存在，則對任意 都成立，首先取特殊情況，當時，探究出該直線為，再通過一般性的證明即可.

（1）雙曲線的兩焦點為，

設動點 ，

因為，且 ，

所以動點的軌跡是以為焦點的橢圓.

因為 ，

所以的軌跡方程；.

（2）由題意設直線的方程為，

取 ，得，

直線 的方程是，

直線的方程是，

交點為 .

若，由對稱性可知：交點為.

若點在同一條直線上，則該直線只能為.

以下證明 對任意的，直線與交點均在直線上.

由得 ，

設，

由韋達定理得：

設直線與交點為 ，

由 ，

得.

設直線與 交點為 ，

由 ，

得，

因為，

.

所以與重合.

所以當直線在變化時，點恒在直線上.