Question

【題目】如圖☆的曲線，其生成方法是（I）將正三角形（圖（1））的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖（2）；(II)將圖（2）的每邊三等分，重復上述的作圖方法，得到圖（3）；(III)再按上述方法繼續做下去，所得到的曲線稱為雪花曲線(Koch　Snowflake)，

（1）（2）（3）.

設圖（1）的等邊三角形的邊長為1，并且分別將圖（1）、（2）、（3）…中的圖形依次記作M1、M2、M3、……

（1）設中的邊數為中每條邊的長度為，寫出數列和的遞推公式與通項公式；

（2）設的周長為，所圍成的面積為，求數列{}與{}的通項公式；請問周長與面積的極限是否存在？若存在，求出該極限，若不存在，簡單說明理由.

Answer 1

【答案】（1）且，；，； （2）；；周長的極限不存在，面積的極限為.

【解析】

（1）根據題意，結合圖形的變換，分別得出數列和的遞推關系式，結合等比數列的通項公式，即可求解；

（2）根據圖象的變換規律，得出數列和的遞推關系式，結合疊加法和數列的極限，即可求解.

（1）由題意，可得數列的遞推關系式為且，

所以數列構成首項為，公比為4的等比數列，

所以其通項公式為，

又由每個圖形的邊長都相等，且長度變為原來的，

所以邊長滿足遞推關系式，

即數列構成首項為1，公比為的等比數列，

所以數列的圖通項公式為

（2）觀察發現，第二個圖形在第一個圖形的周長的基礎上多了它的周長的，第三個圖形在第二個的周長的基礎上，多了周長的，第四個圖形在第三個的周長的基礎上，多了周長的，依次類推，

可得周長滿足遞推關系式且，

所以數列構成首項為3，公比為的等比數列，

所以數列的通項公式為，

由第一個三角形的面積，

當時，，

則

.

又由極限的運算法則，可得，所以周長的極限不存在；

，即面積的極限為.