Question

如圖5(1)中矩形中，已知，, 分別為和的中點，對角線與交于點，沿把矩形折起，使平面與平面所成角為，如圖5(2).
（1）  求證：；
（2）  求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）見解析；（2）.

本試題主要是考查了立體幾何中的線線垂直的判定和線面所成角的正弦值的運用。
解：（1）由題設，M，N是矩形的邊AD和BC的中點，所以AMMN, BCMN, 折疊垂直關系不變，所以∠AMD 是平面ABMN與平面MNCD的平面角，依題意，所以∠AMD=60^o，……２分
由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=，在矩形ABCD中，AB=2,AD=,所以，BD=，由題可知BO=OD=，由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形，所以BO⊥DO
…………5分
解（２）設E，F是BD，CD的中點，則EFCD, OFCD, 所以，CD面OEF, OECD
又BO=OD，所以OEBD, OE面ABCD, OE面BOD, 平面BOD⊥平面ABCD
過A作AH⊥BD，由面面垂直的性質定理,可得AH⊥平面BOD，連結OH ，…………… 8分

所以OH是AO在平面BOD的投影，所以∠AOH為所求的角,即AO與平面BOD所成角。11分
AH是RT△ABD斜邊上的高，所以AH=，BO=OD=，
所以sin∠AOH=（14分）
方法二：空間向量：取MD，NC中點P，Q，如圖建系，  

Q（0，0，0），B（，0，0），D（0，，2），O（0，，1
所以（，，1），（0，，
所以0，即BO⊥DO（5分）
（2）設平面BOD的法向量是，可得xy+z=0
y-z=0，令可得所以
又（，，-1），
設AO與平面BOD所成角為,jsin=|cos<>|==（14分）