Question

1．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-6ax-1，x≤1}\\{{a}^{x}-7，x＞1}\end{array}\right.$，對任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，1）
• B． [$\frac{1}{3}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{3}$）
• D． （0，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 根據(jù)對任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，可知f（x）在R上是單調減函數(shù)，可知a＜1，由二次函數(shù)的性質可知：（-∞，3a）是減區(qū)間，可得3a≥1，且滿足（a^x-7）_max≤（x²-6ax-1）_min可得a的取值范圍．

解答 解：定義在R上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-6ax-1，x≤1}\\{{a}^{x}-7，x＞1}\end{array}\right.$，
對任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，可知f（x）在R上是單調減函數(shù)，
可得：y=a^x-7是減函數(shù)，則a＜1．
由二次函數(shù)的性質可知：y=x²-6ax-1的對稱軸為x=3a，其（-∞，3a）是單調減區(qū)間，
∴3a≥1，可得：a$≥\frac{1}{3}$
滿足（a^x-7）_max≤（x²-6ax-1）_min可得：a-7≤-6a
解得：a＜1．
綜上可得：a的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，1）．
故選：B．

點評 本題考查了分段函數(shù)的單調性的運用．屬于基礎題．