Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”（即平均數(shù)的倒數(shù)）為

1

2n+1

，
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知b_n=tan（t＞0），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)為S_n，求

lim

n→∞

Sn+1

Sn

的值．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”（即平均數(shù)的倒數(shù)）為

1

2n+1

，求出a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1）
推出a_n=4n-1，然后求出通項(xiàng)公式；
（2）利用b_n=tan（t＞0），求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)為S_n，然后對(duì)t=1，t＞1，0＜t＜1分類討論，分別求出極限值即可．

解答：解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”（即平均數(shù)的倒數(shù)）為

1

2n+1

，
所以a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1）
兩式相減，得 a_n=4n-1，n≥2，a₁=3∴a_n=4n-1n∈N
（2）因?yàn)閎_n=tan（t＞0），b_n=t^4n-1，S_n=t³+t⁷+…+t^4n-1（t＞0），
當(dāng)t=1時(shí)，S_n=n，

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=1；
當(dāng)t＞1時(shí)，

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=

lim

n→∞

1-t4n+4

1-t4n

=t4；
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=1．
綜上得，

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=

1  (0＜t≤1) t4   (t＞1)

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，通項(xiàng)公式的求法，分類討論的思想，極限的求法，考查計(jì)算能力，注意通項(xiàng)公式求解時(shí)，n=1的驗(yàn)證．