Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+bx+c）e^x在點P（0，f（0））處的切線方程為2x+y-1=0．
（1）求b，c的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若方程f（x）=m恰有兩個不等的實根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=（x²+bx+c）e^x在點P（0，f（0））處的切線方程為2x+y-1=0，可求得f（0）的值，求導(dǎo)，令f′（0）=-2，解方程組可求得b，c的值；（2）令導(dǎo)函數(shù)f′（x）=[0，求解，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）方程f（x）=m恰有兩個不等的實根，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值和單調(diào)性，從而可知函數(shù)圖象的變化情況，可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=[x²+（b+2）x+b+c]•e^x
∵f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為2x+y-1=0．
∴

f′(0)=-2 f(0)=1

?

b+c=-2 c=1

?

b=-3 c=1

（2）由（1）知：f（x）=（x²-3x+1）•e^x，f′（x）=（x²-x-2）•e^x=（x-2）（x+1）•e^x

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：（-∞，-1）和（2，+∞）f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是：（-1，2）
（3）由（2）知：f(x)max=f(-1)=

5

e

，f（x）_min=f（2）=-e²
但當(dāng)x→+∞時，f（x）→+∞；又當(dāng)x＜0時，f（x）＞0，
則當(dāng)且僅當(dāng)m∈(-e2，0]∪{

5

e

}時，方程f（x）=m恰有兩個不等的實根．

點評：考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及方程根的個數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法和數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬中檔題．