Question

己知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，當n≥2時，S_n-1+1，a_n，S_n+1成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

2×3n

Sn•Sn+1

，T_n是數列{b_n}的前n項和，求使得Tn＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的最小正整數m．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及已知可得a_n+1=3a_n，n≥2，又a₁=2，再利用等比數列的通項公式即可得出；
（2）利用等比數列的前n項和公式即可得出S_n，即可得出b_n，再利用“裂項求和”即可得出T_n，進而得出m．

解答：解：（1）當n≥2時，2a_n=S_n-1+1+S_n+1…①
∴2a_n+1=S_n+1+S_n+1+1…②
②-①化簡得a_n+1=3a_n，n≥2，又a₁=2，
∴數列{a_n}是以2為首項，3為公比的等比數列，
∴an=2×3n-1．
（2）由數列{a_n}是以2為首項，3為公比的等比數列，
∴Sn=

2×(3n-1)

3-1

=3ⁿ-1．
∴bn=

2×3n

Sn•Sn+1

=

1

3n-1

-

1

3n+1-1

，
∴Tn=

1

2

-

1

3n+1-1

＜

1

2

，

m

20

≥

1

2

恒成立，所以最小正整數m的值為10．

點評：本題綜合考查了an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

、等比數列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”等基礎知識與基本方法，屬于難題．