Question

（2013•溫州二模）己知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2．當n≥2時．S_n-1+l，a_n．S_n+1成等差數列．
（I）求證：{S_n+1}是等比數列：
（II）求數列{na_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（I）由題意可得2a_n=s_n+s_n-1+2，結合a_n=s_n-s_n-1可得s_n與s_n-1之間的遞推關系，進而可證明
（II）由（I）可求s_n+1，進而可求s_n，然后利用a_n=s_n-s_n-1可求a_n，然后利用錯位相減可求T_n

解答：（I）證明：∵S_n-1+l，a_n．S_n+1成等差數列
∴2a_n=s_n+s_n-1+2…（2分）
∴2（s_n-s_n-1）=s_n+s_n-1+2 即s_n=3s_n-1+2 …（4分）
∴s_n+1=3（s_n-1+1），n≥2…（6分）
∴{s_n+1}是首項為s₁+1=3，公比為3的等比數列…（7分）
（II）解：由（I）可知sn+1=3n
∴sn=3n-1…（9分）
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=2•3^n-1
又∵a₁=3
∴an=2•3n-1…（11分）
∴Tn=2+4•3+6•32+…+2(n-1)•3n-2+2n•3^n-1         （1）
3Tn=2•3+4•32+…+(2n-1)•3n-1+2n•3ⁿ   （2）
（1）-（2）得：
-2T_n=2+2•3+2•3²+…+2•3^n-1-2n•3ⁿ
=

2(1-3n)

1-3

-2n•3ⁿ
=3ⁿ-1-2n•3ⁿ
∴Tn=

(2n-1)•3n+1

2

…（14分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等比數列求解數列的通項，數列的錯位相減求和方法的綜合應用