Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=n²，數列{b_n}的前n項和T_n=2-b_n．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=a_n²•b_n，證明：當且僅當n≥3，且n∈N⁺時，c_n+1＜c_n．

Answer 1

分析：（1）因為給出了數列{a_n}的前n項和S_n=n²，所以可用：n=1時，a₁=S₁，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1來求數列{a_n}的通項公式．再由b_n=T_n-T_n-1，可得2b_n=b_n-1說明數列{b_n}是等比數列，由此可求數列{b_n}的通項公式．
（2）由（1）（2）及c_n=a_n²•b_n，推出

Cn+1

Cn

的取值范圍，進而可證得當且僅當n≥3，且n∈N⁺時，c_n+1＜c_n．

解答：解：（1）由于a₁=S₁=1
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又∵n=1時，2n-1=1
∴a_n=2n-1，n∈N^*，
又當n≥2時b_n=T_n-T_n-1=（2-b_n）-（2-b_n-1），
∴2b_n=b_n-1
∴數列b_n是等比數列，其首項為1，公比為

1

2

，
∴b_n=（

1

2

）^n-1．
（2）由（1）知C_n=a_n²b_n=（2n-1）²（

1

2

）^n-1＞0
∴C_n+1=（2n+1）²（

1

2

）ⁿ＞0
∴

Cn+1

Cn

=

(2n+1)2

2(2n-1)2

=

4n2+4n+1

8n2-8n+2

若c_n+1＜c_n．則

Cn+1

Cn

＜1
∴4n²-12n+1＞0 
解得n＞

3

2

+

2

或n＜

3

2

-

2

12分
又∵n∈N^*，
∴n≥3
所以當且僅當n≥3，且n∈N⁺時，c_n+1＜c_n．

點評：由a_n=S_n-S_n-1可求出b_n和a_n，這是數列中求通項的常用方法之一，在求出b_n和a_n后，進而得到c_n，接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法．考查計算能力．