Question

設命題P：對任意實數，不等式x²-2x＞m恒成立；命題：方程

x2

m-3

+

y2

5-m

=1表示焦點在x軸上的雙曲線．
（Ⅰ）若命題q為真命題，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）若命題“p∨q””為真命題，且“p∧q”為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）命題q為真命題，得方程

x2

m-3

+

y2

5-m

=1表示焦點在x軸上的雙曲線，說明x²的分母為正數且y²的分母為負數．聯列不等式組，解之即得實數m的取值范圍；
（2）先找出命題p真時，實數m的取值范圍，再由“p∨q為真命題，p∧q為假命題”，說明“p真q假”成立，或“p假q真”成立，分這兩種情況討論，最后綜合可得實數的取值范圍．

解答：解：（1）若方程

x2

m-3

+

y2

5-m

=1表示焦點在x軸上的雙曲線，
則

m-3＞0 5-m＜0

⇒m＞5
即命題q為真命題時，實數m的取值范圍是（5，+∞）（5分）
（2）若命題p真，即對任意實數，不等式x²-2x-m＞0恒成立．
∴△=4+4m＜0，可得m＜-1
p∨q為真命題，p∧q為假命題，說明“p真q假”成立，或“p假q真”成立，
①如果“p真q假”成立，則有

m＜-1 m≤5

⇒m＜-1（9分）
②如果“p假q真”成立，則有

m≥-1 m＞5

⇒m＞5（12分）
所以實數的取值范圍為m＜-1或m＞5（13分）

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了雙曲線的標準方程和一元二次不等式的解集等知識點，屬于基礎題．