Question

設(shè)命題P：對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式x²-2x＞m恒成立；命題：方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．
（Ⅰ）若命題q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若命題“p∨q””為真命題，且“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）命題q為真命題，得方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，說(shuō)明x²的分母為正數(shù)且y²的分母為負(fù)數(shù)．聯(lián)列不等式組，解之即得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）先找出命題p真時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍，再由“p∨q為真命題，p∧q為假命題”，說(shuō)明“p真q假”成立，或“p假q真”成立，分這兩種情況討論，最后綜合可得實(shí)數(shù)的取值范圍．
解答：解：（1）若方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，
則
即命題q為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（5，+∞）（5分）
（2）若命題p真，即對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式x²-2x-m＞0恒成立．
∴△=4+4m＜0，可得m＜-1
p∨q為真命題，p∧q為假命題，說(shuō)明“p真q假”成立，或“p假q真”成立，
①如果“p真q假”成立，則有（9分）
②如果“p假q真”成立，則有（12分）
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為m＜-1或m＞5（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和一元二次不等式的解集等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．