Question

15．已知二次函數f（x）=ax²-x+c（x∈R）的值域為[0，+∞），則$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{c}$的最小值為8．

Answer 1

分析 先判斷a、c是正數，且ac=$\frac{1}{4}$，把所求的式子變形使用基本不等式求最小值．

解答 解：∵二次函數f（x）=ax²-x+c的值域為[0，+∞），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4ac=0}\end{array}\right.$，
解得a＞0，c＞0，ac=$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{c}$≥2$\sqrt{\frac{2}{a}•\frac{2}{c}}$=8，當且僅當a=c=$\frac{1}{2}$時取等號，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{2}{c}$的最小值為8，
故答案為：8

點評 本題考查函數的值域及基本不等式的應用，求解的關鍵就是拆項，屬于基礎題．