Question

11．設函數$f（x）=ln（{\sqrt{{x^2}+1}-x}）$，若a，b滿足不等式f（a²-2a）+f（2b-b²）≤0，則當1≤a≤4時，2a-b的最大值為（　　）

• A． 1
• B． 10
• C． 5
• D． 8

Answer 1

分析 判定函數f（x）是定義域R上的奇函數，且為單調減函數，
把不等式f（a²-2a）+f（2b-b²）≤0化為a²-2a≥-2b+b²，
即（a+b-2）（a-b）≥0，再由1≤a≤4得出不等式組，
畫出不等式組表示的平面區域即可行域，
利用目標函數Z=2a-b，求出Z的最大值即可．

解答 解：函數$f（x）=ln（{\sqrt{{x^2}+1}-x}）$，定義域為R，且對于任意的x∈R都有
f（-x）+f（x）=ln（$\sqrt{{（-x）}^{2}+1}$+x）+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=ln（x²+1-x²）=0，
∴函數y=f（x）定義域R上的為奇函數；
由f（a²-2a）+f（2b-b²）≤0可得f（a²-2a）≤-f（2b-b²）
由函數為奇函數可得式f（a²-2a）≤f（-2b+b²）；
又∵f′（x）=$\frac{\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}-1}{\sqrt{{x}^{2}+1}-x}$＜0恒成立，
∴函數f（x）為R上的減函數；
∴a²-2a≥-2b+b²，即a²-b²-2（a-b）≥0，
整理可得，（a+b-2）（a-b）≥0，
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{（a+b-2）（a-b）≥0}\\{1≤a≤4}\end{array}\right.$
所表示的平面區域即可行域如圖所示的△ABC；
令Z=2a-b，則Z表示2a-b-Z=0在y軸上的截距的相反數，
由圖可知，當直線經過點A（1，1）時Z最小，最小值為Z=2×1-1=1，
當直線經過點C（4，-2）時Z最大，最大值為2×4-（-2）=10．
故選：B．

點評 本題主要考查了復合函數的單調性與奇偶性的綜合應用問題，也考查了不等式表示平面區域的確定，以及用線性規劃求目標函數的最值問題．