Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁，F₂，點P是橢圓上任意一點，|PF₁|•|PF₂|的最大值為4，且橢圓C的離心率是雙曲線

x2

12

-

y2

4

=1的離心率的倒數．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若O為坐標原點，B為橢圓C的右頂點，A，M為橢圓C上任意兩點，且四邊形OABM為菱形，求此菱形面積．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設橢圓的焦距為2c，利用基本不等式推出|PF₁|•|PF₂|≤a²，求出a=2．利用雙曲線與橢圓的離心率關系，即可求出橢圓的標準方程．
（2）求出橢圓C的右頂點B的坐標，通過AM與OB相互垂直且平分，設A（1，m），代入橢圓方程得

1

4

+m²=1，求出m，然后求解面積．

解答： 解：（1）設橢圓的焦距為2c，則|PF₁|•|PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=（

2a

2

）²=a²，
當且僅當|PF₁|=|PF₂|時，|PF₁|•|PF₂|取得最大值a²，故a²=4，則a=2．
而雙曲線

x2

12

-

y2

4

=1的離心率為

4

2 3

=

2

3

，故橢圓的離心率為

3

2

，
即

c

a

=

3

2

，故c=

3

，所以b=1，
所以橢圓的標準方程為

x2

4

+y²=1．（6分）
（2）橢圓C的右頂點B的坐標為（2，0）．
因為四邊形OABM為菱形，所以AM與OB相互垂直且平分，
所以可設A（1，m），代入橢圓方程得

1

4

+m²=1，即m=±

3

2

，
所以菱形OABM面積為

1

2

|OB||AM|=

1

2

×2×

3

=

3

．（12分）

點評：本題考查雙曲線與橢圓方程的應用，基本性質的考查．