Question

【題目】對于函數f（x），若f（x）=x ， 則稱x為f（x）的“不動點”，若f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）．
（1）若a=2，b=﹣2，求f（x）的不動點；
（2）若f（x）有兩個不等的不等點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）

當a=2，b=﹣2時，f（x）=2x2﹣x﹣4

設x為其不動點，即2x2﹣x﹣4=x

則2x2﹣2x﹣4=0

∴x1=﹣1，x2=2，即f（x）的不動點是﹣1，2．

（2）解：由f（x）=x得：ax2+bx+b﹣2（a≠0）

由已知，此方程有相異二實根，

△＞0恒成立，即

即b2﹣4ab+8a＞0恒成立．

∴16a2﹣32a＜0

解得：0＜a＜2

【解析】（1）由函數f（x）不動點的定義，若f（x）=x ， 則稱x為f（x）的“不動點”，結合f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），a=2，b=﹣2，我們可以構造一個關于x的一元二次方程，解方程，即可求出f（x）的不動點．（2）若f（x）有兩個不等的不等點，則方程f（x）=x有兩個不等的實數根，由一元二次方程根的個數與△的關系，我們不難得到實數a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解集合的相等關系的相關知識，掌握只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等．