Question

已知函數f （ x ）=3^x，f （ a+2 ）=18，g （ x ）=λ•3^ax-4^x的義域為[0，1]．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函數g （ x ）在區間[0，1]上是單調遞減函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件f （ a+2 ）=18建立關于a的等量關系，求出a即可
（2）將第一問的a代入得g（x）=λ•2^x-4^x，g （x）在區間[0，1]上是單調遞減函數，可利用函數單調性的定義建立恒等關系，分離出λ，求出2^x2+2^x1的最值即可．
解答：解：（Ⅰ）由已知得3^a+2=18⇒3^a=2⇒a=log₃2
（Ⅱ）此時g（x）=λ•2^x-4^x
設0≤x₁＜x₂≤1，因為g（x）在區間[0，1]上是單調減函數
所以g（x₁）-g（x₂）=（2^x2-2^x1）（-λ+2^x2+2^x1）≥0成立
∵2^x2-2^x1＞0
∴λ≤2^x2+2^x1恒成立由于2^x2+2^x1≥2+2=2
所以實數λ的取值范圍是λ≤2
點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，以及函數恒成立問題，屬于中檔題．