Question

正四面體（所有面都是等邊三角形的三棱錐）相鄰兩側(cè)面所成二面角的余弦值是

 

．

Answer 1

分析：由已知中正四面體的所有面都是等邊三角形，取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，易得∠AEB即為相鄰兩側(cè)面所成二面角的平面角，解三角形ABE即可得到正四面體（所有面都是等邊三角形的三棱錐）相鄰兩側(cè)面所成二面角的余弦值．

解答：解：取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，如下圖所示：

設(shè)四面體的棱長(zhǎng)為2，則AE=BE=

3

且AE⊥CD，BE⊥CD，則∠AEB即為相鄰兩側(cè)面所成二面角的平面角
在△ABE中，cos∠AEB=

AE2+BE2-AB2

2AE•BE

=

1

3

故正四面體（所有面都是等邊三角形的三棱錐）相鄰兩側(cè)面所成二面角的余弦值是

1

3

故答案為：

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，其中確定∠AEB即為相鄰兩側(cè)面所成二面角的平面角，是解答本題的關(guān)鍵．