Question

（本小題12分）

如圖，在三棱錐中，側面、是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且，，另一個側面是正三角形．

（I）求證：；

（II）求二面角的余弦值；

（III）在直線是否存在一點，使直線與面成角？若存在，確定的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）（3）

解析:

該幾何體可以視作從正方體中取出而得，如圖所示．因此采用補形的思想方法入手解答．

（I）作面于，連結，，，則四邊形是正方形，且，以為原點，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標系如圖．                                              1分

則，，，，

易得，                          3分

（II）設平面的法向量為，則由且

知

則可取                       5分

同理可求得平面的一個法向量為       6分

由圖可以看出，二面角的大小應等于

則，即所求二面角的余弦值為．    8分

（III）設是線段上一點，則，．

易知平面的一個法向量可取，要使直線與平面成 角，則與的夾角為或，                           

所以                 10分

解得，則

故線段上存在點，且時，直線與平面成角     12分