Question

已知函數f(x)=

1 |x-1 x≠1 1         x=1

，若關于x的方程[f（x）]²+bf（x）+c=0的5個不同實數解恰能構成等差數列，則b的值等于（　　）

• A、-1
• B、-2
• C、-3或-

  3

  2

• D、-3

Answer 1

分析：設方程的解為f₁，f₂，因為共五個實根以及f（x）的對稱性，不妨設f（x）=f₁有三個實根，則有一根為1，即f（x）=1，進而求得x₁，x₂，x₃，又根據x₄-1=1-x₅和5個不同實數解恰能構成等差數列，進而確定x₄和x₅的值，求得f₂，最后根據韋達定理求得b．

解答：解：[f（x）]²+bf（x）+c=0是一個關于f（x）的二次方程，設它的解為f₁，f₂
得到方程
f（x）=f₁
或f（x）=f₂
因為共五個實根以及f（x）的對稱性，
不妨設f（x）=f₁有三個實根
則有一根為1
f（x）=1
∴x₁=1，x₂=2，x₃=0
則f（x）=f₂的解為x₄，x₅
∴x₄-1=1-x₅
即x₄+x₅=2
∵5個不同實數解恰能構成等差數列，
只有x₄=-1，x₅=3和x₄=

1

2

，x₅=

3

2

時符合題意
∴f₂=

1

2

或2
∵-b=f₁+f₂，
∴b=-3或-

3

2

故選C

點評：本題主要考查了函數根的判斷和分段函數的應用．需要利用函數的對稱性來分析根的分布，屬中檔題．