Question

（2009四川卷文）設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記。                                       
（I）求數列與數列的通項公式；
（II）設數列的前項和為，是否存在正整數，使得成立？若存在，找出一個正整數；若不存在，請說明理由；
（III）記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數都有；

Answer 1

解（I）當時，                                         
又                                                 

∴數列是首項為，公比為的等比數列，
∴，         …………………………………3分
（II）不存在正整數，使得成立。
證明：由（I）知                                         

∴當n為偶數時，設                                         
∴
當n為奇數時，設
∴
∴對于一切的正整數n，都有                                         
∴不存在正整數，使得成立。     …………………………………8分
（III）由得                                        
又，                                        
當時，，
當時，

略