Question

已知向量

a

=2

i

-3

j

，

b

=2

i

+3

j

，其中

i

，

j

是互相垂直的單位向量．
（1）求以

a

，

b

為一組鄰邊的平行四邊形的面積；
（2）設向量

m

=

a

-3

b

，

n

=λ

a

+

b

，其中λ為實數，若

m

與

n

夾角為鈍角，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用

分析：（1）運用向量的夾角公式，可得

a

，

b

的夾角θ，再由平行四邊形的公式計算即可得到；
（2）

m

與

n

夾角為鈍角的等價條件為數量積小于0，且它們不共線，計算即可得到范圍．

解答： 解：（1）可知平行四邊形兩條鄰邊長為|

a

|=|

b

|=

13

，
又設

a

，

b

夾角為θ，可知cosθ=

a • b

| a |•| b |

=-

5

13

，
因為θ∈[0，π]，可知sinθ=

12

13

，
所以該平行四邊形面積為|

a

|•|

b

|sinθ=13×

12

13

=12；
（2）

m

=(-4，-12)，

n

=(2+2λ，3-3λ)，
若

m

與

n

夾角為鈍角，則

m • n =( a -3 b )•(λ a + b )＜0⇒λ＜ 11 7 m ， n 不共線⇒ . 1 -3 λ 1 . ≠0

⇒λ＜

11

7

且λ≠-

1

3

．

點評：本題考查平面向量的數量積的定義，考查向量夾角為鈍角的等價條件：數量積小于0，且不共線，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．