Question

（2013•綿陽一模）設向量

a

=（cos2x，1），

b

=（1，

3

sin2x），x∈R，函數f（x）=

a

•

b

．
（I ）求函數f（x）的最小正周期及對稱軸方程；
（II）當x∈[0，

π

2

]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過向量的數量積，利用兩角和的正弦函數，化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，即可求出函數f（x）的最小正周期及對稱軸方程．
（Ⅱ）通過x的范圍求出2x+

π

6

的范圍，利用正弦函數的值域，求解函數的值域即可．

解答：解：（Ⅰ）f （x）=

a

•

b

=（cos2x，1）•（1，

3

sin2x）
=

3

sin2x+cos2x
=2 sin（2x+

π

6

），…（6分）
∴最小正周期T=

2π

2

=π，
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
即f （x）的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z．…（8分）
（Ⅱ）當x∈[0，

π

2

]時，即0≤x≤

π

2

，可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，f （x）取得最大值f （

π

6

）=2；
當2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時，f （x）取得最小值f （

π

2

）=-1．
即f （x） 的值域為[-1，2]．…（12分）

點評：本題以向量為依托，考查三角函數的兩角和的正弦函數的應用，函數的周期，值域的求法，考查計算能力．