Question

已知復數z₁=i(1-i)³,(1)求|z₁|;(2)若|z|=1,求|z-z₁|的最大值.

Answer 1

思路分析:(1)求模應先求出復數的實部與虛部,再利用|a+bi|=得出;(2)是考查復數幾何意義的應用.

解:(1)z₁=i(1-i)³=i(-2i)(1-i)=2(1-i),

∴|z₁|=.

圖3-1-3

(2)|z|=1可看成半徑為1,圓心為(0,0)的圓,而z₁可看成在坐標系中的點(2,-2),

∴|z-z₁|的最大值可以看成點(2,-2)到圓上點的距離的最大值,由圖3-1-3可知,|z-z₁|_max=+1.

    方法歸納 運用復數的幾何意義,采取數形結合的方法解題,可簡化解題步驟,事半功倍.

變式方法:∵|z|=1,

∴設z=cosθ+isinθ,

|z-z₁|=|cosθ+isinθ-2+2i|=

當sin(θ-)=-1時,|z-z₁|²取得最大值9+.

從而得到|z-z₁|的最大值為+1.

    方法歸納 在設復數的過程中常設為z=a+bi(a,b∈R);在有關的解決軌跡的問題中常設z=x+yi,從而與解析幾何聯系起來;當復數的模為1時也可以設為z=cosθ+isinθ,用三角函數解決相關最值等.