Question

已知復(fù)數(shù)z₁=i(1-i)³,

(1)求|z₁|;

(2)若|z|=1,求|z-z₁|的最大值.

Answer 1

思路解析:(1)求模應(yīng)求出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部再利用|a+bi|=得出;

(2)是考查復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.

解:(1)z₁=i(1-i)³=i(-2i)(1-i)=2(1-i),∴|z₁|=.

(2)|z|=1可看成半徑為1圓心為(0,0)的圓,而z₁可看成在坐標(biāo)系中的點(diǎn)(2,-2),

∴|z-z₁|的最大值可以看成點(diǎn)(2,-2)到圓上點(diǎn)距離的最大值,

由圖可知|z-z₁|_max=+1.

變式方法:|z|=1,∴設(shè)z=cosθ+isinθ,

|z-z₁|=|cosθ+isinθ-2+2i|=.

當(dāng)sin(θ-)=-1時(shí),|z-z₁|²取得最大值.

從而得到|z-z₁|的最大值為.

方法歸納  注意此處空半格在設(shè)復(fù)數(shù)的過(guò)程中常設(shè)為z=a+bi(a、b∈R);在有關(guān)的解決軌跡問(wèn)題中常設(shè)z=x+yi從而與解析幾何聯(lián)系起來(lái);當(dāng)復(fù)數(shù)的模為1時(shí)也可以設(shè)為z=cosθ+isinθ用三角函數(shù)解決相關(guān)最值等.