Question

已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且a，b滿足|ka+b|=|a-kb|（k＞0），
（1）求a與b的數量積用k表示的解析式f（k）； 
（2）a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，請說明理由；若能，請求出相應的k值；
（3）求向量a與向量b的夾角的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，且，兩邊平方化簡可得化簡可得，
從而可求f（k）
（2）若可得是否有解，來判斷和是否垂直
若可得即是否有解，來判斷和是否平行
（3）設與夾角為θ，根據向量的夾角公式可得=
利用二次函數的性質可求
解答：解：（1）由題，且，
所以，
化簡可得，
∴；
（2）若，則，而無解，因此和不可能垂直；
若，則即，解得，
綜上，和不可能垂直；
當和平行時，；
（3）設與夾角為θ，
則=
=
因此，當且僅當即k=1時，cosθ有最小值為，此時，向量與的夾角有最大值為60°．
點評：（1）考查了平面向量的數量積的性質：
（2）考查了平面向量的垂直與平行的坐標表示：?x₁x₂+y₁y₂=0；?x₁y₂-x₂y₁=0
（3）考查了向量的夾角公式與二次函數的綜合應用．