Question

如圖，過拋物線的對稱軸上任一點作直線與拋物線交于兩點，點是點關于原點的對稱點.

(1) 設點分有向線段所成的比為，證明:;

    (2) 設直線的方程是，過兩點的圓與拋物線在點處有共同的切線，求圓的方程.

Answer 1

(1)證明見解析(2)圓的方程是  (或)

解析:

(1) 依題意，可設直線的方程為 代入拋物線方程得   

     ①

設兩點的坐標分別是 、、是方程①的兩根.

所以                                                   

由點分有向線段所成的比為，得

又點與點關于原點對稱，故點的坐標是，從而.

 

 所以                

(2) 由 得點的坐標分別是（6，9）、（－4，4）,   

由   得

所以拋物線 在點處切線的斜率為,                 

設圓的圓心為, 方程是

則解得

則圓的方程是  (或)