Question

12、關于x的方程x²+a|x|+a²-9=0（a∈R）有唯一的實數根，則a=

3

．

Answer 1

分析：由已知中關于x的方程x²+a|x|+a²-9=0（a∈R）有唯一的實數根，則函數f（x）=x²+a|x|+a²-9有唯一的零點，分析函數的性質，易構造關于a的方程，解方程即可求出a值．

解答：解：令f（x）=x²+a|x|+a²-9
則f（-x）=f（x）=x²+a|x|+a²-9恒成立
故函數f（x）為偶函數，其圖象關于Y軸對稱，
若關于x的方程x²+a|x|+a²-9=0（a∈R）有唯一的實數根，
則函數f（x）有且只有一個零點，
則f（0）=0，解得a=±3
又當a=-3時，函數f（x）有3個零點，
∴a=3
故答案為：3

點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數的關系，其中根據函數零點與方程根的辯證關系，將問題轉化為確定函數零點個數的問題是解答本題的關鍵．