Question

已知橢圓上任意一點到兩焦點距離之和為4，直線x+4=0為該橢圓的一條準線．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設直線l：y=kx+2與橢圓C交于不同的兩點A、B，且（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

解：（I）設橢圓C的半焦距為c，
由題意得，解得a=2，b=，
∴橢圓C的方程為；
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立，得（4k²+3）x²+16kx+4=0，
∵直線l：y=kx+2與橢圓C交于不同的兩點A、B，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，解得，①
且有，，
∴=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=＞0，
解得，②
由①②得，，
解得，或，
∴斜率k的取值范圍是．
分析：（I）設橢圓C的半焦距為c，由題意得，由此能夠求出橢圓C的方程．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（4k²+3）x²+16kx+4=0，由直線l：y=kx+2與橢圓C交于不同的兩點A、B，解得，且有，，=＞0，解得，由此能夠求出斜率k的取值范圍．
點評：本題考查橢圓方程的求法，求直線斜率k的取值范圍．解題時要認真審題，注意橢圓性質、韋達定理、不等式性質等知識點的靈活運用．