Question

（2012•黃岡模擬）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，橢圓上任意一點到右焦點F的距離的最大值為

2

+1．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點C（m，0）是線段OF上一個動點（O為坐標原點），是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點，使得|AC|=|BC|，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）結合已知

e= c a = 2 2 a+c=1+ 2

，可求a，c，由b²=a²-c²可求b，進而可求橢圓方程
（2）由題意可知0≤m＜1，假設存在滿足題意的直線l，設l的方程為y=k（x-1），代入

x2

2

+y2=1，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據方程的根與系數關系可求x₁+x₂，x₁x₂，根據y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），從而可求B的中點為M，由|AC|=|BC|可得k_CM•k_AB=-1可得m，k之間得關系，結合m的范圍可求k

解答：解：（1）因為

e= c a = 2 2 a+c=1+ 2

，所以a=

2

，c=1，（4分）
∴b=1，橢圓方程為：

x2

2

+y2=1                 （6分）
（2）由（1）得F（1，0），所以0≤m＜1，假設存在滿足題意的直線l，設l的方程為y=k（x-1），
代入

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

  ①，（10分）
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-2k

2k2+1

設AB的中點為M，則M（

2k2

2k2+1

，

-k

2k2+1

），
∵|AC|=|BC|
∴CM⊥AB即k_CM•k_AB=-1
∴

4k2

1+2k2

-2m+

-2k

2k2+1

•k=0
∴（1-2m）k²=m
∴當0≤m＜

1

2

時，k=±

m 1-2m

，即存在這樣的直線l
當

1

2

≤m≤1，k不存在，即不存在這樣的直線l           （15分）

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓的方程，直線與橢圓相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，直線的斜率公式的應用．屬于知識的綜合應用．