Question

設函數=（為自然對數的底數），，記．

（1）為的導函數，判斷函數的單調性，并加以證明；

（2）若函數=0有兩個零點，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）在上單調遞增．（2）實數a的取值范圍是（0，2）。

【解析】

試題分析：（1），∴，

令，則，

∴在上單調遞增，即在上單調遞增．

（2）由（1）知在上單調遞增，而，

∴有唯一解，

的變化情況如下表所示：

x		0
	－	0	＋
	遞減	極小值	遞增

 

又∵函數有兩個零點，

∴方程有兩個根，即方程有兩個根 

而，，

解得．

所以，若函數有兩個零點，實數a的取值范圍是（0，2）

考點：本題主要考查了導數的運算，導數在函數單調性中的應用，函數零點。

點評：中檔題，利用導數研究函數單調區間，進一步判斷函數零點情況，提供了解答此類問題的一般方法。