Question

設(shè)函數(shù)，（為自然對數(shù)的底）.

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若存在常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)分別滿足和，則稱直線：為函數(shù)和的“隔離直線”.試問：函數(shù)和是否存在“隔離直線”？若存在，求出“隔

離直線”方程；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）最小值為0

（2）存在唯一的“隔離直線”

【解析】

（1）

當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，

在處去的最小值為0

（2）由（1）知當(dāng)時，，（僅當(dāng)取等號）

若存在“隔離直線”，則存在常數(shù)k和b，使得

恒成立

的圖像在處有公共點(diǎn)，

因此若存在的“隔離直線”，則該直線必過這個公共點(diǎn)

設(shè)該直線為

恒成立，恒成立，得

以下證明，當(dāng)時恒成立

∴當(dāng)時有為0,也就是最大值為0．從而,即恒成立．故函數(shù)和存在唯一的“隔離直線”．……………12分