Question

（2013•唐山一模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，直線MN交圓O于A，B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAMM，交圓0于點D，過D作DE上MN于E．
（I）求證：DE是圓O的切線：
（II）若DE=6，AE=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）連結OD，易證∠EDA+∠ODA=90°，即DE⊥OD，從而可證DE是圓O的切線；
（II）由DE是圓O的切線，可得DE²=EA•EB，而DE=6，AE=3，從而可求得AB；又O到MN的距離等于D到MN的距離等于

1

2

|BC|，從而可求得△ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）連結OD，則OA=OD，所以∠OAD=∠ODA．
因為∠EAD=∠OAD，所以∠ODA=∠EAD．…（2分）
因為∠EAD+∠EDA=90°，所以∠EDA+∠ODA=90°，即DE⊥OD．
所以DE是圓O的切線．…（4分）
（Ⅱ）因為DE是圓O的切線，所以DE²=EA•EB，
即6²=3（3+AB），所以AB=9．                                   …（6分）
因為OD∥MN，
所以O到MN的距離等于D到MN的距離，即為6；
又因為O為AC的中點，C到MN的距離等于12    …（8分）
故△ABC的面積S=

1

2

AB•BC=54．…（10分）

點評：本題考查綜合法在證明中的應用，考查輔助線的添加，考查作圖、推理與分析、運算的能力，屬于中檔題．