Question

函數y=f（x）對于任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，當x＞0時，f（x）＞1，且f（3）=4，則（ ）
A．f（x）在R上是減函數，且f（1）=3
B．f（x）在R上是增函數，且f（1）=3
C．f（x）在R上是減函數，且f（1）=2
D．f（x）在R上是增函數，且f（1）=2

Answer 1

【答案】分析：先依據函數單調性的定義判斷函數的單調性，再由f（3）=f（1）+f（2）-1=f（1）+f（1）+f（1）-1-1=4，解出f（1）．
解答：解：設x₁＞x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-1-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1＞1-1=0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）為增函數．
又∵f（3）=f（1）+f（2）-1=f（1）+f（1）+f（1）-1-1=3f（1）-2，
∴f（1）=2．
故答案選  D．
點評：本題考查抽象函數的性質．